非対称線形方程式に対するBiCGStab関連の方法
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概要
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BiCGStab法は大型の疎行列を係数とする連立一次方程式Ax=b (1.1)を解くための反復解法である.ただし,行列Aは非対称な正則とする.BiCGStab法ではBCG法で得られる残差ベクトルと1次の多項式を組合せ,これを各反復で最小化する.これによりBCG法の残差の収束の不規則性を改善し収束を滑らかにしている.BiCGStab法のk回目の反復における残差はr_k=(I-αA)q_<k-1>(A)^〜r_kという式で表され,‖r_k‖_2が最小になるようにαが選ばれる.ただし,^〜r_kはBCG法のk回目の反復における残差ベクトルであり,q_k(x)=(1-αx)q_<k-1>(X)とする.各反復で必要とする行列とベクトルの積の数はBCG法と同じであり,このアルゴリズムではA^Tの計算は必要としない.BiCGStab法は多くの問題に対してよい収束性を示している.しかし、虚数部が大きい固有値を持つ問題にこの方法を適用すると残差の収束が悪くなることがある.もし初期値を実数にすると‖r_k‖_2を最小化するように選ばれるαも実数となり,このため複素固有値に対応できないことがある.このような欠点を解決すべく提案されたのが一連のBiCGStab法である.BiCGStab系のアルゴリズムは行列・ベクトル・スカラ演算の組合せで記述されており,並列処理に適していると考えられる.ここでは分散メモリ型メッセージパッシング方式の並列計算機AP1000(富士通)を利用しいろいろな問題に対して数値実験を行ったので,その結果について報告する.
- 1996-03-06
著者
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