xが小さい場合の一般化された余弦積分関数∫^∞_xt^<ν-1>cos tdtおよび正弦積分関数∫^∞_xt^<ν-1>sin tdtの数値計算

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一般化された余弦積分関数C(ν,x)=∫^∞_xt^<ν-1>cos tdtおよび正弦積分関数S(ν,x)=∫^∞_xt^<ν-1>sin tdtについて, ν<1かつx(≧0)が小さい場合の新しい数値計算法を提案している. C(ν,x)については, C(ν,x)=∫^∞_xt^<ν-1>cos tdt-∫^x_0t^<ν-1>cos tdt=π/(2Γ(1-ν)sin<νπ>/2)-x^yΣ^^∞__<k=0>(-1)^kx^<3k>/((2k)!(ν+2k))において, 適当に項をまとめると, C(ν,x)=(-1)^nF_n(a)+(-1)^nΦ(α,x)/(2n)!-x^<-2n+α>Σ^^∞__<k=0 k=⃥n>(-1)^kx^<2k>/((2k)!(-2n+2k+α))が得られる. ただし, nおよびαは, ν=-2n+α, -1≦α<1を満足するように定められたものであり, F_n(a)=π/(2Γ(2n+1-α)sin<απ>/2)-1/((2n)!α)およびΦ(α,x)=(1-x^n)/αである. F_n(α)は式どおりに計算を行うと桁落ちを生ずるが, n=0のときには, F_0(α)の最良近似式, n=1のときには, F_i(α)の最良近似式, n≧2のときには, F_1(α)の最良近似式とF_n(α)の漸化式により計算すれば, 桁落ちなしにF_n(α)を求めることができる. Φ(α,x)については, そのまま計算すると桁落ちを生ずるときには, f(t)=(e^t-1)/tなる関数の最良近似式により, Φ(α,x)=-f(αln x)ln xとして計算すれば, 桁落ちなしにΦ(α,x)を求めることができる. このようにすれば, xが小さい場合のC(ν,x)を精度よく計算することができる. S(ν,x)についても, ほぼ同様であある.
一般社団法人情報処理学会の論文
1985-05-15

xが小さい場合の一般化された余弦積分関数∫^∞_xt^<ν-1>cos tdtおよび正弦積分関数∫^∞_xt^<ν-1>sin tdtの数値計算

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