xが小さい場合の不完全ガンマ関数Γ(ν, x)の数値計算

概要

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不完全がンマ関数Γ(ν, x)について, ν≧0かつ正数xが小さい場合の新しい数値計算法を提案している. Γ(ν, x)は, Γ(ν, x)=Γ(ν)e^<-x>{e^x-x^νΣ^^∞__<k=0>x^k/Γ(k+1+ν)}と表すことができる. この式の括弧内において, e^xを級数展開し, 適当に項をまとめ, その項の桁落ちを生ずる部分を所要の精度を有する近似式で計算することにより, Γ(ν, x)の値を精度良く, しかも能率的に求めている. たとえば, 0≦ν<1では, ν=0を中心とする展開として得られるΓ(ν, x)=Γ(1+ν)e^<-x>Σ^^∞__<k=0>{A_k(ν, x)+B_k(ν, x)}により計算を行う. ただし, A_k(ν, x)の式中には, そのまま式どおりに計算を行うと桁落ちを生ずる関数(1/k!-1/Γ(k+1+ν))/νを含むが, その値は, その関数の最良近似式により計算する. また, B_k(ν, x)には, Φ(ν, x)=(1-x^ν)/νを含むが, そのまま計算すると桁落ちを生ずるときには, f(t)=(e^t-1)/tなる関数の最良近似式により, Φ(ν, x)=-f(νln x)ln xとして計算を行う. このようにすれば, Γ(ν, x)の値を精度良く計算することができる. 本方法は, Gautschiの方法(本方法より能率的であるが, xの適用範囲が狭い)と併用すると能率的である.
一般社団法人情報処理学会の論文
1982-09-15