多面体の非同型な展開図の個数について
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概要
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多面体の展開図(辺展開とも呼ばれる)は,多面体を辺に沿って切り開くことで得られる多角形である.切り開く辺が異なっても,同型な展開図が得られることがある.例えば,立方体には384通りの展開の仕方(つまり辺の切り開き方)があるが,同型なものを除去することで,11種類の本質的に異なる(非同型な)展開図が得られる.本稿では,任意の多面体に対し,非同型な展開図の個数を数え上げる方法について述べる.また,この手法をすべての整面凸多面体(正多面体,半正多面体,ジョンソン・ザルガラーの多面体,アルキメデスの角柱と反角柱)に適用し,それぞれの非同型な展開図の個数を示す.たとえば,角切り二十面体(サッカーボールフラーレン)には375,291,866,372,898,816,000通りの展開方法があるが,同型なものを排除することで3,127,432,220,939,473,920種類の異なる展開図が存在することが分かった.
- 2012-05-07
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