Lanczosの原理の一般化とその多次元信号処理問題への応用に関する一考察

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信号処理や画像処理においてはヒルベルト空間の1つのベクトルに自己共役作用素を繰り返し適用して生成されるベクトルが張る有限次元部分空間への直交射影が必要となることが多い. 多項式の最小2乗近似問題として定式化されるFIRデジタルフィルタの設計問題はその典型的な例となっている. 直交射影は正規方程式によって特徴付けられるが, この方程式は次元が大きくなるとHilbert行列に近い振る舞いを見せるため, しばしば悪条件となり, 直接解法は深刻な数値誤差を招く結果となる. このため, あらかじめ部分空間の直交基底を導出しておくことが信頼性の高い計算結果を得るために有効とされている. Lanczosの原理は1変数直交多項式間に3項漸化式が成立することを示すものであり, 最近これを1次元FIRフィルタの効率的な設計に応用した報告もある. 一方, 多次元フィルタの設計問題や画像の圧縮問題に直交基底を利用するためには, 多変数単項式をあらかじめ効率的に直交系に変換しておく必要がある. 小文ではLanczosの原理を多変数の場合へ一般化し, 多変数単項式の効率的な直交化を可能とする一定理を導出している. 多変数多項式の場合には直交化の順序に自由度が生じるが, この順序は必ずしも単項式順序に限定されないことが示される. また, 具体的に単項式順序を満足しない2変数単項式の直交化順序を提案し, これが2次元象限対象FIRデジタルフィルタの設計問題において柔軟な次数選択を可能にすることを示す. 最後にGram-Schmidtの直交化を直接適用した場合との計算量の比較を行い, 本手法の有効性を示している.
1999-03-09

Lanczosの原理の一般化とその多次元信号処理問題への応用に関する一考察

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