積型積分の自動積分法べき型特異点の場合

概要

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有限区間(一般性を失うことなく[-1,1]とおく)上の、滑らかな関数f(t)と特異関数K(t)との積の積分(積型積分)∫^1_<-1>K(t)f(t)dtの近似値を求めることは、通常の積分則では困難である。ここでK(t)として、例えば|t-c|^α(α>-1)、log|t-c|(-1≤c≤1)、主値(t-c)^<-1>などの特異関数や激しい振動関数e^<iwt>(ω≫1)である。特異点が積分区間の端点のとき、一般的に有効な積分則があるが、区間内に特異点をもつ積分には個別の扱いが要求される。本論文では、我々が発表してきた一連の積型積分の自動積分法(例えば[2])の続きとして、特にべき型特異関数K(t)=|t-c|^α(α>-1)に対する不定積分Q(x,y,c)=∫^y_x|t-c|^αf(t)dt, -1≤x,y,c≤1,(1)の与えられた{(x,y,c)}の組に対する近似値の組{Q_N(x,y,c)}を能率的に計算する。本方法はクレンショー・カーチス則[3]の一般化である。積分(1)のf(t)をチェビシェフ多項式T_k(t)の有限和f(t)〜p_N(t)=Σ^^N__<k=0>"a^N_kT_k(t),(2)で近似して、積分の近似値Q_N(x,y,c)はQ(x,y,c)〜Q_N(x,y,c)=∫^y_x|t-c|^αp_N(t)dt,(3)となる。もしf(t)が滑らかなら、p_N(2)はNの増大と共に速く収束する。3項漸化式を利用して、近似(3)の積分の値を計算できる(2節参照)。f(z)の解析性を仮定すると、複素積分表示を利用して近似(3)の打ち切り誤差が見積られる(4節参照)。この推定誤差を満足するまで、収束する近似値の列{Q_N}を反復的に作る。この際、従来はNをN=2^n(n=1,2,…)として増大させた。ここでは、我々が既に示したようにN=3×2^n,4×2^n,5×2^n,(n=1,2,…),(4)より緩やかにNを増大させ、誤差推定の機会を増すことにより、無駄な標本数を減らし、自動積分法の能率を高める。チェビシェフ展開係数α^N_k(2)は高速フーリエ変換(FFT)により能率的に計算される。数値例を用いて、滑らかな関数f(t)に対して本方法が有効であることを示す。
一般社団法人情報処理学会の論文
1990-03-14

積型積分の自動積分法べき型特異点の場合

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