共変リヤプノフバンドルを用いた準周期解の分岐のパターン分類
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概要
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連続力学系において周期解はボアンカレ断面上の不動点となり,その固有値・固有ベクトルを計算することで解の局所的安定性と向きベクトルを調べることが出来る.一方,準周期解(2-トーラス)はポアンカレ断面上の不変閉曲線(Invariant Closed Curve=ICC)となり,時間平均された軌道安定性であるリヤプノフ指数が固有値に対応して存在するが,その向きベクトルを定義することは出来ていなかった.今回我々はICCの各点においてリヤプノフ指数に対応した向きベクトルである共変リヤプノフベクトル(Covariant Lyapunov Vector=CLV)というベクトルを計算し,CEVのICCに沿った集合を描画することができた.これはICC上の接空間が構成する接束(tangent bundle)の部分束であることから,共変リヤプノフバンドル(Covariant Lyapunov Bundle=CLB)と呼ぶことにした.本研究ではICCの局所的な分岐の分類を共変リヤプノフバンドルとリヤプノフ指数を用いて行い,サドル・ノード分岐,ピッチフォーク分岐,周期倍分岐1(巻き数の増加),周期倍分岐2(安定性の崩壊),ネイマルク・サッカー分岐における共変リヤプノフバンドルについて連続力学系の例を挙げつつ紹介する.
- 2013-05-20
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