交代級数に対する最適線形加速法

概要

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無限係数S=Σ^^∞__<n=0>a_n ---(1) に対する加速法とは,Sに対する近似列{δ_n},δ_n=δ_n(a_0,…,a_n) ---(2) である。δ_nがa_0〜a_nに関して線形なら{δ_n}は線形加速法とよばれる。もちろんある線形加速法が有効に働くには,(1)の無限級数が何らかの仮定を満さねばならない。ここでは各項が,a_n=(-1)^n∫^1_0x^nf(x)dx ---(3) となる級数を対象とした線形加速法について考える。(3)はやや恣意的のようであるがa_n=(-1)^n(1/<n+α+1>)^<β+1>=(-1)^n∫^1_0x^n<x^α>/<Γ(β+1)>(log1/x)^βdx ---(4) のような基本的な交代級数をふくんでいる。また,f(1)≠0で1の近傍でfが連続ならnが十分大きいところではa_nの符号は交代し,|a_m|z0(1/n)で収束も遅い。さて線形加速法をδ_n=Σ^^n__<l=0>α^<(n)>_l(-1)^la_l ---(5) とすると(3)よりδ_n=∫^1_0φ_n(x)f(x)dx ---(6) ここでφ_n(x)=Σ^^n__<l=0>α^<(n)>_lx^l ---(7) {φ_n}を{δ_n}の特性多項式とよぶ。また同じく(3)よりS=Σ^^∞__<n=0>(-1)^n∫^1_0x^nf(x)dx=∫^1_01/<1+x>f(x)dx ---(8) 故にδ_nの誤差はS-δ_n=∫^1_0{1/<1+x>-φ_n(x)}f(x)dx ---(9) したがって加速法の有効性は1/(1+x)に対するφ_n(x)の近似度で評価される。あるノルムについてφ_n(x)が1/(1+x)のn次最良多項式近似なら{δ_n}を最適とよぶことにする。
一般社団法人情報処理学会の論文
1986-10-01