5段数および6段数陽的ルンゲ・クッタ法の特性について

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常微分方程式の初期値問題をy'=f(x,y), y(x_0)=y_0 (1)とするとき, γ段数陽的ルンゲ・クッタ法はk_i=h_nf(x_n+a_ih_n, y_n+Σ^^<i-1>__<j=0>b<ij>k_j), a_1=b_<i0>=0(i=1, 2, …, γ), u_<n+1>=y_n+Σ^^γ__<i=1>c_ik_i=x_<n+1>-x_n(n=0, 1, 2, …) (2)と表される. ここでは特に(γ-1)の到達可能次数を実現しているγ=5および6の各場合について考察する. この場合方法(2)の安定多項式は, P_r, _<r-1>(h_nλ,γ_r)=Σ^^<r-1>__<k=0>(h_nλ)^k/(k!)+γ_r・(h_n)^r/(r!) (3)となる. 著者は, 安定性を支配するパラメータγ_rが, 実用的に有意義な広い変域-既知公式のすべてを含む-において徐々に変動するとき, 絶対安定区間の長さや有効な絶対安定領域の面積, また, 打切り誤差の大小を測るためのよく知られた判定基準の最小値などがどのように変動するかを調べ, その結果を図示する. ついで, 各既知公式についてその公式のγ_rと, 前記の打切り精度判定基準の常用対数とを両座標とする点を, 同図上に記入する. この図の観察から, γ=5および6の各場合にはγ段数で実質的にγ次が可能であること, 既知公式が打切り精度や安定性の面でなお改良の余地を残しているか否か, またどの公式がより好ましい特性をもっているか, よい特性をもつ公式におけるγ_rの範囲などを, 直観的に容易に知ることができる. また, この研究の結果, 可能な任意の特性をもつ公式を意図的に導くことが可能になった.
一般社団法人情報処理学会の論文
1986-01-15

5段数および6段数陽的ルンゲ・クッタ法の特性について

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