グラフ解析による3次関数族Q_c(x)=c(x-x^3)のダイナミックス

概要

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グラフを用いた解析により3次関数族Q_c(x)=c(x-x^3)のダイナミックスが範囲0<c≦3√<3>/2について調べられた。cの値の増加に伴い,Q_c(x)は周期倍分岐の連鎖を引き起こすことが見いだされた。Q_c(x)が周期2^nの超安定2^nサイクルをもつc_nの値をn=0,1については解析的に,n≧2については数値的に求めることにより,周期倍分岐が集積するcの極限値c^*がc^*=2.302283462700…となることが見いだされた。c_nの値を用いて軌道図における分岐点間の水平方向に対するcの間隔の減少する割合の逆数とその極限値δが数値的に求められδ=4.66920160910…を得た。また,軌道図における臨界点近傍の垂直方向に対する分岐幅の極限値αも数値的に求められα=2.5029078…が得られた(これらδとαはFeigenbaumの普遍定数に相当する)。カオス領域に対応する範囲c^*<c≦3√<3>/2については,特に,3周期の窓に焦点を当てて調べた。臨界点が吸引的3周期点となるcの値に対して,他の反発的周期点も無数にあることをグラフを用いた解析により見いだした。