分子構造に関する剛性予想の証明

概要

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d次元空間上の剛体ヒンジ構造とはd次元の部分空間(剛体)が(d-2)次元アフィン空間(ヒンジ)によって接続された構造物であり,各剛体は接続されたヒンジ周りを回転し動く事が出来る.特に各剛体が(d-1)次元アフィン空間(剛板)として実現される際,構造物は剛板ヒンジ構造と呼ばれる.剛体ヒンジ構造物の1次剛性は,その接続関係の組合せ構造によって特徴付けされる事が知られており,1984年にTay and Whiteleyはその組合せ的特徴付けが剛板ヒンジ構造物に対しても適用可能であると予想した.より正確には「グラフGに対して,各頂点を剛板,各辺をヒンジに対応させ実現される剛板ヒンジ構造が全体として剛となる必要十分条件は((d+1 2)-1)Gが(d+1 2)個の辺素な全域木を含む事である」という予想を彼らは行った.ここで((d+1 2)-1)GはGの各辺を((d+1 2)-1)個の多重辺で置き換えたグラフである.3次元空間において分子構造の1次剛性は剛板ヒンジ構造物を用いて表現できる事が知られており,そのためこの予想は"the Molecular Conjecture"と呼ばれている.本稿では,長年未解決であったこの予想に対する証明を与える.またこの結果から,G^2の辺集合を台集合とする3次元剛性マトロイドの組合せ的特徴付けが得られる.
2009-02-26