幾何教育の復権(第1報)

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周知のように,幾何教育は,今世紀の初頭以来,動揺を続けてきたが,その動揺を収束することなく世紀の前半を経過した。そればかりでなく,世紀の後半にはいると,数学教育現代化の進行とともに,幾何教育の動揺は,いちだんと激しくなり,あるいは四分五裂の様相を呈し,あるいはその存立すらも疑問視されるに到った。このような事態の進行は,ユークリッド流の論証幾何が崩壊を開始した時点で,すでに予測されていたことではあったが,現代化がその進行を加速したことも疑いない。ユークリッド流の論証幾何が,学校数学におけるその玉座を去って以来,それに代わるものとして,(a)本質的には,三角形の合同条件と平行線の性質に基礎をおきつつ,ユークリッド流の欠陥を改良しようとする接近(b)座標および座標系による解析幾何学的接近(c)F.Kleinの系譜をつぐ,変換に基づく接近などが,それぞれに妍を競ってきたが,近年に到って,(d)ベクトル的,ないしはベクトル空間的接近が提唱されるようになった。その結果,以上の接近のうちの,一つだけを採り上げて,それによって幾何課程の全体を覆うプロジェクトが提唱され,実施されるようになり,そのうちのいくつかのプロジェクトは,注目すべき成果を上げている。しかし,他方において,近年に到って,「総合的」という形容詞を冠する幾何の課程,あるいは,そのような名称はもたぬものの,明らかにそれを意図していると考えられるプロジェクトが出現するようになった。これらの課程では,上記の諸接近の一つを採り上げ,他を捨てるのではなく,いずれの接近にもなにがしかの関連を保っている。本稿では,後者のプロジェクトのうち,ソビエトにおける幾何プログラム,その具体化であるА.Н.Колмогоровの教科書'幾何学'について,わが国のプログラムと対比しつつ,分析と検討を試みる。このようなプロジェクトにおいては,(1)それぞれの接近を相対的にどう位置づけて「総合」するか(2)それぞれの接近を,どのように有機的に結合し,統一体を構成するかが当面の課題となることはいうまでもないが,より根源的には,その課程を通して(3)どのような統一的幾何学像を期待するかが吟味されねばならず,それは,ひいては,一度失った(失いかかっていた)学校数学における玉座への復帰が可能となるかどうか,あるいは,そのことが数学教育全般から見て,好ましく,歓迎されるべきことがらであるかどうかの考察にもつながるであろう。It is familiar that one of the most controversial issues in secondary school mathematics has been, and is now, what to teach in the geometry course. As J.Kemeny pointed out in early sixties, there seems to be general agreement that the teaching of geometry in secondary schools must be modernized, but there is a certain lack of ideas as to how this should be achieved. At the turn of this century when the traditional Euclidean synthetic geometry had lost its authoritative power on secondary school mathematics, various approaches were brought up to take the place of Euclidean geometry. These approaches are basically classified into the following categories: a) improved approach of traditional Euclidean geometry, b) analytic geometry approach based on the coordinates and the system of coordinates, c) transformation approach following the idea of F.Klein, and d) vector approach leading to the idea of vector space. After the Second World War, especially together with the Modernization Movement, there have emerged various projects in which, following their own philosophies, only one approach would dominate over the others and any other approach could not be allowed to exist together with. Each of them has the consistency in its own right, and some of them give us invaluable suggestions for the teaching of geometry in secondary school. Nevertheless they are mutually so conflicting that mathematics educators have no agreeable idea as to what the geometry is. In his previous paper one of the authors described the general tendency of the geometry teaching in late sixties, and attempted almost in vain to seek for a clue by which one would be able to find the way out of such chaotic and inconsistent situations. It is, however, worth noticing that in recent developments in the teaching of geometry there have been available several geometry programs which are called 'comprehensive' or 'integrated'. In this paper and the followings the authors attempt to give an analysis of these comprehensive programs and to identify whether they are able to give us a so-called comprehensive idea as to what the geometry is. In the present paper the USSR geometry programs implemented since 1970 are taken into consideration and compared with our geometry programs contained in the contemporary course of study circulated by the Ministry of Education. The analysis shows the followings: (1) Although the USSR geometry programs, in particular the 4th, 5th and 6th grades programs, may have an old-fashioned flavour, it is true that, with the greatest possible care, the transition from the informal stage to the formal and demonstrative stage is designed to be smooth by the sufficient use of the axial symmetry. (2) There seems to be found a descrepancy between the introduction of vectors as translations and the subsequent setting up of vector spaces. The program should be elaborated so as to remove it.
大阪教育大学の論文

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