導関数の積分表示及びテーラー展開の一導出法
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概要
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関数のテーラー展開・ローラン展開あるいは留数の計算公式は、通常べき級数の理論をもとに導かれるが、著者はべき級数の理論によらず直接これらを導出することに関心をもってきた。コーシーの積分表示に関して、点aをf(z)の孤立特異点とするとき、この点ａでf(z)の極限が存在すれば、ｆ(z)／(z-a)の周積分が極限値で表示されることを[7]で示したが、本論ではこの積分の極限値による表示を用いて、導関数の積分表示をf(z)の積分表示を用いることなく直接導くこと、及びテーラー展開やローラン展開をべき級数の知識を用いずに導く一つの方法について示す。In the theory of complex function, Taylor expansion, Laurent expansion and the formulas for computing residues of a function are usually proved on the basis of the property of uniform convergence of power series. However, the auther has been interested in the method to introduce these facts directly, not using knowledge of power series. In [7], we showed that the integral representation of f(a) holds if f(z) is regular in an open circular disk by omitting the center a and if the lim f(z) exists. In this paper, by virtue of this fact, we will show the integral representation of f'(a) directly without the aid of the integral representation of f(z). And further, we will show a method of introducing Taylor expansion and Laurent expansion, not using properties of power series.
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