複素関数の積分表示と留数について

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概要

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• 本論は、べき級数やローラン展開の理論を用いずに以下の事柄等を示すものである。ローラン展開の知識を前提とせず、また位数に言及することなく、lim f(z)(z-a)=Aが存在するならば、Aが点aでのf(z)の留数に等しいことを示し、これを基に留数に関する諸公式を導く。また、コーシーの積分公式f(z)=∫f(z)/ Cz-a dzについて、Cの囲む閉領域でのf(z)の正則性を、点aにおいては微分可能性を連続性に置き換えても成り立つことを示す。更に、孤立特異点aについて、次の4つの事柄は同値であることを示す。(1)点aはf(z)の除去可能な特異点である。(2)点aでf(z)の極限値が存在する。(3)点aでf(z)は連続である。(4)点aの適当な環状近傍でf(z)は有界である。In our College, we now teach the bases of the theory of Complex function in less than 40 class hours in the lecture of Applied Mathematics: complex numbers and complex functions, regular functions, complex integrations, Taylor's and Laurent's expansions, residues, and applications to real integrals. However, it is a little hard to teach all of the above mentioned in the limited class hours, and so it seems to be better to teach integrations collectively, leaving the expansion of functions later. The purpose of this note is to show several theorems which are bases of a teaching plan of residues without teaching the Laurent's expansions.

著者

• 堀之内 總一

  鹿児島工業高等専門学校

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