加法定理と同値な定理について

概要

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以下の3つの定理は互いに同値であることが示される : I. 加法定理II. 余弦定理III. 内積がベクトルの成分の積和に等しいことを示す定理 (以後, これを "内積定理" と呼ぶことにする) より詳しく述べると, 上記の3つの定理の証明はいずれも, 三平方の定理を本質的に用いている. そこで, それらの同値性が予想されるが, このノートではその同値性を導く. つまり, 3つの定理のうちのどの1つからも残りの2つの定理が導かれることを示す. これらの同値関係はこれまでにもいくつかは知られており, 新しい結果ではない. このノートではそれらを整理すると共に, これらの結果は平面上の結果, つまり, 2次元の世界での結果であるが, 同じことをより高い次元の世界で考えてみる. 三平方の定理は, "ピタゴラスの定理" として, 3次元以上の世界でも成り立つことが知られている. さらにはヒルベルト空間と呼ばれる, 無限次元の世界でも正規直交基底を考えることによって, 三平方の定理は, パーセヴァルの等式として成り立つことが知られている. そこで, 平面上での上記の同値関係がヒルベルト空間でも成り立つことが予想されるが, それらがどのような形となるのかを考えてみる.
東海大学の論文
2005-03-31