2つの平行な円を境界とする極小曲面の考察

概要

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空間内に，半径の等しい２つの平行な円で，２円の中心を結ぶ直線がそれぞれの円と直交しているものを考える。その２つの円を境界とする極小曲面は（あれば）懸垂面であることが知られている。しかし，lを円の間の距離の半分，aを円の半径とするとき，もしも a/l=c_0 ならば，そういう懸垂面は存在しない。ただし，c_0はcosh(1/x)-(1/x)sinh(1/x) という関数の零点である。　本論文では，a/l = c_0 の時の懸垂面の面積の振る舞いについて調べ，その時の懸垂面は（平均曲率が0という意味での）極小曲面ではあるが，面積が極小となっていないことを実証する。Let us consider two circles in R^3 such that the radii are the same and the line joining two centers is perpendicular to the circles. The minimal surfaces bounded by the two circles are catenoids. However, if we put l the half of the distance between two circles and a the radii of the circles, there does not exist a catenoid bounded by the circles in the case where a/l < c_0, where c_0 is the zero point of the function cosh(1/x)-(1/x)sinh(1/x).In this paper, we study the behavior of the area of the catenoid in the case where a/l = c_0.