メッシュフリー法を用いた板曲げ解析における数値積分法に関する一考察
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概要
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これまでに多くの研究・開発が行われてきた有限要素法に加え, 近年ではメッシュ(要素)を用いない数値解析手法であるメッシュフリー/粒子法の研究が盛んに行われている. メッシュフリー/粒子法ではメッシュを用いない離散化を行うため, メッシュのゆがみ や つぶれ などに強く大変形挙動に適した解析手法である. また, 物体が破断・飛散するような問題の表現にも比較的柔軟な方法として知られる. 解析対象は節点や粒子と呼ばれる離散点によってラグランジュ的に近似・離散化され, 強形式, 弱形式を問わず様々な問題への適用が行われている. 著者らは土木や海洋構造物で用いられる補剛板構造物の座屈解析を行うことを目的として, Reproducing Kernel Particle Method (RKPM) を用いた Mindlin-Reissener 板理論や Kirchhoff 板理論への適用を行い, 非線形板曲げ問題への拡張を行ってきた. メッシュフリー法では, メッシュを用いない離散化を行うため, その数値積分法に工夫が必要である. Element Free Galerkin Method (EFGM) では, 一般的にバックグラウンドセルと呼ばれる領域を用いて数値積分を行う. 一方, RKPMの数値積分法としては Stabilized Conforming Nodal Integration (SCNI) が提案されており, 本研究でもこれに倣い SCNIを用いて数値積分を実施している. SCNIでは, 各々の離散点に対してボロノイ分割により積分領域を定義し, 領域内の積分に関してガウスの発散定理を適用することで積分の安定化・高精度化を図る. しかしながら, これまでに取り扱われた例題には矩形板や円板について全体の応力状態が一様となる基礎的な問題が多い. 本研究では補剛板構造を解析対象としているが, これらの構造物では板の内部で集中荷重や変位拘束を受けることにより局所的に応力が変化する問題を考慮しなければならず, これまで用いてきたSCNIのみでは精度が不十分であることを確認した. 本論文では, この問題に対して解決法を提案する. メッシュフリー法における剛性マトリクスの数値積分には従来から様々な方法が提案されており, 本研究ではSCNIを用いている. SCNIでは節点配置に対応したボロノイ分割による仮想的な積分領域を配置しガウスの発散定理を適用することで, 形状関数の偏微分を省略し高精度な数値積分を実施する. またSCNIを拡張した方法として, Sub-domain Stabilized Conforming Integration (SSCI) が提案されている. SSCIでは, SCNIで用いるボロノイ分割を細分化して数値積分を実施する. 従来の研究では, 薄板の挙動を高精度に表すためにKirchhoff 板理論をもとにHermite補間に基づいた近似法であるHRK (Hermite Reproducing Kernel) 近似を提案したが, HRK形状関数は基底ベクトルにその偏微分形を含むため, 関数形状は通常のRK形状関数に比べてやや複雑であり, 加えて弱形式は2階の導関数であることから, 偏微分の階数を落として数値積分の精度を確保するためにSSCIを用いた. 本研究では局所的に応力が集中するときの数値積分方法に関する問題の回避策の1つとしてRK近似に対してもSSCIを適用することを提案する. このように, SCNIの板曲げ問題で発生する解析精度に関する議論を行った論文は報告されていない. また, SSCIはHRK近似の性質を考慮して提案された数値積分手法であるため, RK近似を用いた解析の数値積分にSSCIを用いた研究例は著者らの知る限りでは存在しない. 本報ではこれらの問題についてメッシュフリー法における数値積分の観点から考察を行い, 得られた知見について報告する.
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