ベキ級数演算による常微分方程式の解の精度保証付き数値計算
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概要
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本報告では,次のような正規形の連立一階常微分方程式に対して,その解を精度保証付きで求める方法について報告する:dx(t)/(dt)=f(x(t),t), t∈[a,b], (1)ここで,x(t)はn次元のベクトル値関数である.このような微分方程式を数値的に解くためには,定義域をa=t_1<t_2<…<t_m=bのように分割して離散化し,x(t_i)の近似x_iを未知数とする有限次元方程式に帰着させることがよく行われる.この過程でいわゆる離散化誤差が発生し,それを厳密に見積もることは極めて難しい.しかし,もし隣同士の値x_iとx_<i+1>との関係を正確に記述することが出来れば,真の値(微分方程式の軌道上の値)x(t_i)に一致する解x_iを持つような有限次元方程式が得られるはずである.すなわち,条件x(t_s)=vの下で正確なx(t_e)の値を与えるような関数φ(v,t_s,t_e)を計算出来れば,その正確な解をもつ有限次元方程式を, x_2=φ(x_1,t_1,t_2) x_3φ(x_2,t_2,t_3)・・・ x_m=φ(x_<m-1>,t_<m-1>,t_m). (2)のように書くことが出来る.この方程式はn×m個の未知数とn×(m-1)個の方程式を持つ.従って,n個の境界条件を付加することによって,解けることが期待出来る.以上により,例えばKrawczykの方法などによって有限次元方程式の精度保証付きの解を計算すれば,離散的なm個の点における与えられた微分方程式の精度保証付きの解を得ることができる.本報告では,上で述べた隣同士の点の正確な関係を表す関数φ(v,t_s,t_e)の計算方法を示す.この方法は,Lohnerの方法の拡張と見なせる.本報告では,必要な場面では区間演算が使用されることを注意しておく.
- 1995-03-27
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