6個の関数計算による実質的6次のRunge-Kutta法

概要

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1階常微分方程式の初期値問題dy/dx=f(x, y), y(x_0)=y_0の6段Kutta型公式y_<n+1>=y_n+Σ^^6__<i=1>μ_ik_i, k_1=hf(x_n, y_n), k_i=hf(x_n+a_ih, y_n+Σ^^<i-1>__<j=1>β_<ij>k_j), i=2, …, 6, では, O(h^5)までの誤差を0にする, いわゆる5次の公式しか得られない. この公式を式変形し, f_x, f_yを用いることにより6次の公式が導かれる(6次の極限公式とよぶ). この極限公式において, f_x, f_yを用いて求めた値はあまり精度が要らない. そこで, 式変形を行うだけで, そのまま計算する. 極限公式では0にする値がεとして残るが, このεをO(h^6)の誤差項の係数がO(h^7)の誤差項の係数に比べ無視できる程度となるように選ぶ. こうして得られたここに示す公式は, 6個の関数計算だけを用いた6段公式で, O(h^6)の誤差項の係数はO(h^7)のものに比べ無視できる程度に小さく, しかもそのO(h^7)の誤差項の係数は, 6段で達することのできる最良のものである極限公式とほぼ等しい. すなわち6個の関数計算だけによる実質的に6次で最も精度のよいものである.
一般社団法人情報処理学会の論文
1982-11-15